En mi opinión, un grifo que gotea entra plenamente en el capítulo de reparaciones que corresponden al arrendatario (Las pequeñas reparaciones que exija el desgaste por el uso ordinario de la vivienda, dice textualmente el art. 21. 4 de la Ley de Arrendamientos Urbanos). Solo si el contrato es muy reciente cabe responsabilizar al propietario, pero conviene que sea de mutuo acuerdo, porque los procedimientos que la ley exige para reclamar una reparación al propietario resultan más caros que comprar un grifo nuevo. Si el arrendatario insiste en el procedimiento para solicitar la reparación debe:

a) Poner en conocimiento del arrendador, en el plazo más breve posible, la necesidad de la reparación, lo cual exige una notificación fehaciente (burofax con certificación de contenido, 20 euros, o entrega en mano con recibo de copia, 0 euros).

b) Facilitar al arrendador la verificación directa, por sí mismo o por los técnicos que designe.

El procedimiento para exigir la reparación ha sido explicado muchas veces en este mismo foro. Tendrás no una sino muchas respuestas. Introduciendo en el campo de búsqueda la palabra grifo, deterioro, obra, reparación o cualquier otra que creas que se va ajustar mejor a lo que pretendes saber.

El procedimiento es tan sencillo como pedirles que lo reparen o sustituyan. Y basta con decirlo verbalmente.

Supongo que su pregunta ha sido formulada aquí porque eso "no le funcionó", y por lo tanto quiere hacerlo de tal forma que no les quede otra que atenderle.

La forma de hacerlo es por escrito, por cualquier medio de notificación que luego le permita demostrar que lo ha solicitado (una firma del arrendador en una copia del escrito, un burofax, etc)

Identifíquese bien con todos sus datos, también todos los del arrendador, los del inmueble, fecha del contrato, etc. En el escrito describa la avería y solicite la reparación o sustitución. Es importante que indique que el grifo no funciona bien por antigüedad y no por mal uso de usted.
Finalmente indique un plazo, por ejemplo diez días, para atender la reparación, y transcurrido el cual usted procederá a sustituirlo o repararlo descontando su importe de la próxima mensualidad.

Supongo que la respuesta del propietario no se hará esperar. Y caso de no hacerlo proceda según le anunció en el escrito.

Un saludo.